57 школа, 9 класс
6 апреля 2002 г.
Комбинаторика с ошибками

1.    Найдите ошибку в нашем решении и решите задачу правильно.
Задача. Сколько существует натуральных чисел, меньших 5000, не делящихся ни на 17, ни на 19?
Решение. Так как 5000 = 17.294 + 2, то существуют 294 числа, меньших 5000 и делящихся на 17, а именно: 17.1, 17.2, ..., 17.294. Аналогично, существуют 263 числа, меньших 5000 и делящихся на 19. Поэтому существуют 5000 - 294 - 263 = 4443 числа, меньших 5000, не делящихся ни на 17, ни на 19. Ответ: 4443.

2.    В ресторане предлагается 7 вариантов первого блюда, 11 вариантов второго блюда и 13 вариантов третьего блюда. Сколькими способами можно составить обед из трёх блюд?

3.    Найдите ошибку в нашем решении и решите задачу правильно.
Задача. В поход пошли 22 человека. Требуется одного из них послать за дровами, а другого за водой. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Поскольку за дровами можно послать любого из 22 человек, и за водой тоже любого из 22 человек, то, как в задаче с обедами, получаем 22.22 = 484 варианта.

4.    Найдите ошибку в нашем решении и решите задачу правильно.
Задача. Сколько существует 6-значных номеров, в которых встречается цифра 3?
Решение. Выберем разряд, в котором стоит цифра 3 (6 вариантов). Остальные пять цифр могут быть произвольными (105 вариантов). Итого 6.105 вариантов.

5.     Найдите ошибку в нашем решении и решите задачу правильно.
Задача. В городе отличников от каждой площади отходят ровно 5 улиц. Каждая улица  соединяет две площади. Сколько в этом городе улиц, если в нём N площадей?
Решение. Так как от каждой из N площадей отходит по 5 улиц, получаем 5N улиц.

6.     Найдите ошибку в нашем решении и решите задачу правильно.
Задача. Каждую из 19 кабин колеса обозрения нужно покрасить целиком в один из 15 цветов. Сколькими способами это можно сделать? Все кабины одинаковые, колесо постоянно вращается по часовой стрелке.
Решение.  Пусть существует N различных раскрасок. Раскрасим колесо первым способом и сфотографируем его в 19 различных положениях (на каждой фотографии одна из кабин находится в самом нижнем положении). Раскрасим вторым способом, снова сделаем 19 фотографий, и так далее. Всего получим 19N фотографий.
Сколько существует разных фотографий крашеного колеса? Нижняя кабина на фотографии может быть покрашена в любой из 15 цветов, кабина справа от нее -- в любой из 15 цветов, и так далее. Всего, как в задаче с обедами, получаем  1519 разных фотографий. Итак, 19N = 1519, откуда N = 1519/19. Заодно мы доказали, что 1519/19 -- целое число (так как число способов всегда целое).