Программа зачета по арифметике

1. Признаки делимости на 9 и на 11 (Д 11).
2. Сравнимость по модулю целого числа. Свойства сравнений (Д 13).
3. Обратимость остатков по простому модулю (НЧ 17).
4. Теорема Вильсона (НЧ 19).
5. Малая теорема Ферма (НЧ 20).
6. Бесконечность множества простых чисел вида 3k+2, вида 4k+3, вида 6k+5 (НЧ 21).
7. Китайская теорема об остатках (ТНi 5).
8. Примеры множеств, в которых не выполнена основная теорема арифметики (КОТА 1д, 2в, 3м).
9. Идеалы (И 1-5). Пересечение идеалов - идеал (И 6б).
10. Главные идеалы (И 7, ГИ 5). Идеал I(a, b), порожденный двумя числами (АЕ 2).
11. Алгоритм Евклида в Z, Q[x] и Z[i] (АЕ 7).
12. Эквивалентные элементы (НЧ 2-8).
13. Арифметические свойства изученных множеств:

	Z	Q[x]	Z[x]	Z[i]	Z[(-5)1/2]	Z[(-2)1/2]	Z[(-3)1/2]	Эйлеровы числа
Обратимые элементы	НЧ 1а	НЧ 1г	НЧ 1д	ГЧ 4	НЧ 1в	доп.	доп.	доп. ТНi 13б
Деление с остатком	Д 7	ГИ 1	ГИ 2	ГЧ 8	ГИ 4	доп. ГИ 10а	доп. ГИ 10б	доп. ТНi 15в
Все ли идеалы главные?	ГИ 6	ГИ 7а	доп.	ГИ 8а	ГИ 5в	доп. ГИ 11а	доп. ГИ 11б	доп.
aX+рY=1, если а не делится на р	НЧ 11а	НЧ 11г	НЧ 11д	НЧ 11б	НЧ 11в	доп.	доп.	доп.
Если p|ab, то p|a или p|b	НЧ 12а	НЧ 12г	доп. НЧ 12д	НЧ 12б	НЧ 12в	доп.	доп.	доп.
Основная теорема арифметики	ТНi 2а	ТНi 2в	доп. ТНi 8в	ТНi 1	КОТА 3м	доп. ТНi 10а	доп. ТНi 10б	доп. ТНi 16

Дополнительные темы

1. Квадратичные вычеты по простому модулю (НЧ 22-25).
2. Бесконечность множества простых чисел вида 4k+1 (НЧ 27).
3. Символ Лежандра. Его мультипликативность (НЧ 28).
4. Многочлен n-ной степени не может иметь более n корней по простому модулю (НЧ 29).
5. При каких р число -1 является квадратичным вычетом по модулю р (НЧ 31).
6. Неразложимые гауссовы числа (ТНi 6).
7. Натуральные числа, представимые в виде суммы двух квадратов (ТНi 7).
8. Неразложимые эйлеровы числа (ТНi 18, 19).
9. Натуральные числа, представимые в виде а²+3b² (ТНi 20).
10. Рациональные точки на окружности x²+y²=1 (ТФП4 3). Пифагоровы тройки (ТФП4 4).
11. Теорема Ферма для показателя 4 (ТФП4 5г).
12. Построения одной линейкой (ПОЛ 10).
13. Построения одним циркулем (ПОЦ 9).
14. Построение правильного 17-угольника (лекция).
15. Построение правильных р-угольников (НЧ 37).