57 школа, 8 класс
20 апреля 2001 г.

Теорема Ферма для показателя 4

(дополнительный листочек)

Точка на координатной плоскости называется рациональной, если обе ее координаты рациональны. Прямая называется рациональной, если на ней можно отметить две рациональные точки. Окружность называется рациональной, если ее центр и ее радиус рациональны.

1. а) Сколько рациональных прямых проходит через точку (1, 2^1/2)?
б) Правда ли, что через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна рациональная прямая?

2. Можно ли утврждать, что
а) точка пересечения двух рациональных прямых рациональна?
б) точка касания рациональной прямой и рациональной окружности рациональна?
в) точки пересечения рациональной прямой и рациональной окружности рациональны?

3. (Рациональные точки на окружности x² + y² = 1.) Возьмем произвольную рациональную точку А на оси x = 0. Проведем прямую через точки (-1; 0) и А. Обозначим через А' вторую (отличную от точки (-1; 0)) точку пересечения этой прямой с окружностью x²+y² = 1.
а) Можно ли утверждать, что точка А' рациональна?
б) Правда ли, что каждая рациональная точка окружности x²+y² = 1 (кроме точки (-1; 0)) может быть получена таким образом?
в) Выразите координаты точки А' через координаты точки А.

4. (Пифагоровы тройки). Назовем Пифагоровой тройкой решение уравнения x²+y² = z² в натуральных числах. Пифагорова тройка называется примитивной, если в ней никакие два числа не имеют общих делителей (кроме 1).
а) Верно ли, что если (а, b, c) - Пифагорова тройка, то и (na, nb, nc) - Пифагорова тройка?
б) Верно ли, что каждую Пифагорову тройку можно представить в виде (na, nb, nc), где (а, b, c) - примитивная Пифагорова тройка?
в) Пусть (а, b, c) - Пифагорова тройка. Может ли ab быть нечетно?
г) Пусть (2а, b, c) - примитивная Пифагорова тройка. Докажите, что найдутся целые числа n и k, такие что а = nk, b = n² - k², c = n² + k².

5. а) Верно ли, что если а и b не имеют общих делителей (кроме 1) и ab = n², то а и b являются полными квадратами?
б) Докажите, что если целые числа а, b, c таковы, что а⁴ + b⁴ = с², то найдутся целые d, e, f такие, что d² + 4e⁴ = f⁴, причем f⁴ < с².
в) Докажите, что если целые числа d, e, f таковы, что d² + 4e⁴ = f⁴, то найдутся целые а, b, c такие, что а⁴ + b⁴ = с², причем с² < f⁴.
г) Докажите, что уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴ не имеет решений в натуральных числах.