57 школа, 8 класс
27 апреля 2001 г.

Гауссовы числа

Гауссовым числом называется выражение вида a + bi, где a и b - произвольные целые числа. Гауссовы числа можно складывать и умножать, используя стандартные правила раскрытия скобок и соотношение i² = -1. А именно,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

1. Делится ли
а) 4 + 3i на 2 - i?
б) 3 - 5i на 2 + 3i?

Будем считать, что целое число а совпадает с гауссовым числом a + 0i.

2. Пусть А - произвольное гауссово число, не являющееся целым числом. Можно ли утверждать, что существует единственное гауссово число В, такое что АВ и А+В - целые числа?

Число a - bi называется сопряженным к гауссову числу a + bi. Число N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a² + b² называется нормой гауссова числа a + bi.

3. Докажите, что
а) Число, сопряженное к А+В равно сумме сопряженных к А и к В.
б) Число, сопряженное к произведению АВ равно произведению сопряженных к А и к В.
в) N(АВ) = N(A)N(B)
г) если натуральные числа n и k представляются в виде суммы двух полных квадратов, то и число nk представляется в таком виде.

4. а) Какую норму может иметь обратимое гауссово число (то есть делитель числа 1)?
б) найдите все обратимые гауссовы числа.

Необратимое гауссово число называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых гауссовых чисел.

5. Является ли неразложимым число:
a) 3 + i
б) 4 + i
в) 2
г) 3
д) 5.

6. Представьте в виде произведения неразложимых число 56 + 7i.

7. а) Гауссовы числа можно представлять себе как точки плоскости, имеющие целые координаты (число a+bi - это точка (а, b)).
Докажите, что норма гауссова числа - это квадрат длины отрезка, соединяющего соответствующую точку с началом координат.
б) Докажите, что норма разности двух гауссовых чисел - это квадрат длины отрезка, соединяющего эти числа.
в) Пусть А - произвольное гауссово число. Верно ли, что точки 0, А, A(1+i), Аi являются вершинами квадрата?
г) Отметьте на плоскости все гауссовы числа, делящиеся на 1 + 2i. Около каждой отмеченной точки напишите соответствующее частное.
д) Разделите с остатком -5+6i на 1 + 2i, то есть найдите гауссовы числа Q и R, такие что -5+6i = (1 + 2i)Q + R и N(R) < N(1 + 2i).
е) Разделите с остатком 7+3i на 1 + 2i.

8. а) Докажите, что каковы бы ни были гауссово число А и гауссово число В не равное 0, найдутся гауссовы числа Q и R, такие что А = ВQ + R и N(R) < N(В).
б) Можно ли утверждать, что при данных А и В такая пара Q и R единственна?