57 школа, 9 класс
23 октября 2001 г.

Идеалы

Пусть K - множество, на котором определены две операции: сложение и умножение. Это может быть множество Z целых чисел, множество Z[i] гауссовых чисел, множество Z[(-5)^1/2] чисел вида a+b(-5)^1/2, множество Q[x] многочленов с рациональными коэффициентами, и так далее.

Подмножество I множества K называется идеалом в K, если выполнены два условия:
i) если a принадлежит I и b принадлежит I, то a+b принадлежит I;
ii) если a принадлежит K и b принадлежит I, то ab принадлежит I.

1. Правда ли, что множество многочленов
а) с нулевым свободным членом - идеал в Q[x]?
б) с нулевым коэффициентом при x - идеал в Q[x]?
в) для которых число 3 является корнем - идеал в Q[x]?

2. Опишите семь различных идеалов в множестве Z.

3. Правда ли, что
а) множество целых чисел
б) множество гауссовых чисел a+bi таких, что a+b четно
в) множество гауссовых чисел a+bi таких, что a+b делится на 3
является идеалом в в Z[i]?

4. Правда ли, что
а) множество чисел вида a+b(-5)^1/2 таких, что a+b четно
б) множество чисел вида a+b(-5)^1/2 таких, что a+b делится на 3
является идеалом в в Z[(-5)^1/2]?

5. Какие идеалы есть в множестве Q рациональных чисел?

6. Можно ли утверждать, что
а) объединение двух идеалов в K - идеал в K?
б) пересечение двух идеалов в K - идеал в K?

Для а, принадлежащего K, обозначим через I(a) множество, состоящее из элементов K, делящихся на а: I(a)={x из K | x делится на а}.

7. Пусть K - одно из множеств Z; Z[i]; Z[(-5)^1/2] или Q[x]. Можно ли утверждать, что при любом а, принадлежащем K, множество I(a) является идеалом в K?

8. Пусть K - множество неотрицательных действительных чисел, меньших 1. Введем на этом множестве две операции: a+b равно дробной части суммы действительных чисел a и b; ab равно произведению действительных чисел a и b.
а) Для каких а из K множество I(a) является идеалом в K?
б) Почему здесь не проходят рассуждения, которые Вы применяли в задаче 7?