57 школа, 8 класс
13 марта 2001 г.
Мы привыкли считать очевидным следующее свойство натуральных чисел: каждое натуральное число единственным образом представляется в виде произведения простых чисел. Это утверждение часто называют основной теоремой арифметики. На самом деле, основная теорема арифметики привычна, а не очевидна. Она может даже перестать быть верной, если оставить только часть натуральных чисел, или, наоборот, расширить множество натуральных чисел.
1. Числа вида 3k+1. В этой задаче слово число является
сокращением для выражения "натуральное число, дающие остаток 1 при делении
на 3".
а) Верно ли, что сумма нескольких чисел - число?
б) Верно ли, что произведение нескольких чисел -
число?
Мы будем говорить, что число а делится на число b,
если существует число с такое, что a = bc. Назовем число а
неразложимым, если оно не равно 1 и не разлагается в произведение двух
меньших чисел.
в) Правда ли, что 28 делится на 13? что 28 делится на 7? что 28
делится на 28?
г) Выпишите все неразложимые числа, меньшие сорока.
д) Существуют ли 4 различных неразложимых числа p, q, r и
s, такие что pq = rs?
2. Четные числа. В этой задаче слово число является
сокращением для выражения "натуральное число, делящееся на 2". Мы будем
говорить, что число а делится на число b, если существует
число с такое, что a = bc. Назовем число а неразложимым, если
а не разлагается в произведение двух меньших чисел.
а) Правда ли, что 28 делится на 14? что 28 делится на 4? что 28
делится на 28?
б) Выпишите все неразложимые числа, меньшие сорока.
в) Существуют ли 4 различных неразложимых числа p, q, r и
s, такие что pq = rs?
3. Числа вида a + b(-5)1/2.
В этой задаче числами называются записи вида
a + b(-5)1/2, где а и b - целые числа.
Такие числа можно складывать:
(a + b(-5)1/2) + (с + d(-5)1/2)
= (a+c) + (b+d)(-5)1/2
и перемножать: (a + b(-5)1/2)(с + d(-5)1/2)
= (ac-5bd) + (ad+bc)(-5)1/2
а) Вычислите: (2 + 7(-5)1/2)(4 - 3(-5)1/2)
Мы будем говорить, что число а делится на число b,
если существует число с такое, что a = bc. Число А
называется неразложимым, если оно имеет ровно 4 делителя.
Делится ли
б) -7 + (-5)1/2 на 2 + (-5)1/2?
в) 7 + 2(-5)1/2 на 3 - (-5)1/2?
Число a - b(-5)1/2 называется сопряженным к числу
a + b(-5)1/2. Число N(А) = a2 + 5b2
называется нормой числа А.
г) Верно ли, что N(АВ) = N(A)N(B)?
д) Перечислите все числа, нормы которых меньше 25.
е) Перечислите все делители числа 7+3(-5)1/2.
Является ли неразложимым число:
ж) 3 + (-5)1/2?
з) 11 - (-5)1/2?
и) 29?
к) 23?
л) Бывает ли так, что p и q - неразложимые числа, p не равно q,
но p делится на q?
м) Приведите пример: 4 неразложимых числа p, q, r и s, ни одно
из которых не делится ни на какое другое и pq = rs.