57 школа, 9 класс
24 ноября 2001 г.

Главные идеалы

1. Пусть f и g принадлежат Q[x], причем g не равно 0. Можно ли утверждать, что найдутся q и r из Q[x], такие что f = gq + r и степень многочлена r меньше степени многочлена g?

2. Обозначим через Z[x] множество многочленов с целыми коэффициентами. Пусть f и g принадлежат Z[x], причем g не равно 0. Можно ли утверждать, что найдутся q и r из Z[x], такие что f = gq + r и степень многочлена r меньше степени многочлена g?

3. Решите (если еще не решили) задачу 8а из листочка Гауссовы числа.

4. Пусть A и B принадлежат Z[(-5)^1/2], b не равно 0. Можно ли утверждать, что найдутся Q и R из Z[(-5)^1/2], такие что A = BQ + R и N(R) < N(B)?

Идеал I в множестве K называется главным, если существует a из K такое, что I = I(а).

5. Какие из идеалов, описанных в задаче
а) 1
б) 3
в) 4
листочка Идеалы являются главными?

6. Пусть I - идеал в Z, и пусть в I есть хотя бы одно ненулевое число. Среди всех ненулевых элементов I выберем наименьшее по модулю число (одно из наименьших). Обозначим это число через а. Можно ли утверждать, что I=I(а)?

7. Пусть I - идеал
a) в Q[x],
б) в Z[x]
и пусть в I есть хотя бы один ненулевой многочлен. Среди всех ненулевых элементов I выберем многочлен наименьшей степени (один из таких). Обозначим этот многочлен через g. Можно ли утверждать, что I=I(g)?

8.Пусть I - идеал
a) в Z[i],
б) в Z[(-5)^1/2],
и пусть в I есть хотя бы одно ненулевое число. Среди всех ненулевых элементов I выберем наименьшее по норме число (одно из наименьших). Обозначим это число через а. Можно ли утверждать, что I=I(а)?

9. Можно ли утверждать, что пересечение двух главных идеалов в K - главный идеал в K?

Обозначим через Z[(-2)^1/2] множество чисел вида a + b(-2)^1/2, где а и b - целые числа; через Z[(-3)^1/2] множество чисел вида a + b(-3)^1/2, где а и b - целые числа.
Умножение в Z[(-2)^1/2] и в Z[(-3)^1/2] определяются исходя из того, что (-2)^1/2(-2)^1/2 = -2 и (-3)^1/2(-3)^1/2 = -3.
Определим норму: N(a+b(-2)^1/2) = (a+b(-2)^1/2)(a-b(-2)^1/2) = a²+2b²;
N(a+b(-3)^1/2) = (a+b(-3)^1/2)(a-b(-3)^1/2) = a²+3b².

10. Можно ли делить с остатком
а) в множестве Z[(-2)^1/2]?
б) в множестве Z[(-3)^1/2]?

11. Правда ли, что
а) в Z[(-2)^1/2]
б) в Z[(-3)^1/2]
все непустые идеалы - главные?