57 школа, 9 класс
26 февраля 2002 г.
1. Справедливы ли следующие утверждения в множестве гауссовых чисел?
а) Если р неразложимо и р|c1c2 ... cn,
то р делит хотя бы одно из чисел ci.
б) Если
р1р2 ... рk =
q1q2 ... qn,
где pi, qi - неразложимые числа, то
найдется i такое, что р1~qi.
в) (Основная теорема арифметики.) Если
р1р2 ... рk =
q1q2 ... qn, где pi,
qi - неразложимые числа, то k = n и числа pi можно
так перенумеровать, чтобы при всех i выполнялось
pi~qi.
2. Решите задачу 1 для множества:
а) Z
б) Z[(-5)1/2]
в) Q[x]
3. Генерал построил солдат в две шеренги. Солдат Иванов остался без пары. Тогда генерал построил солдат в колонну по три. Солдат Иванов и тут остался лишним. И при построении в колонну по пять солдат Иванов тоже остался один. Тогда генерал посулил Иванову три наряда вне очереди и построил солдат в колонну по семь, причем никто не остался лишним. Сколько солдат могло быть у генерала?
4. Найдите натуральное число Х, такое что:
а) Х сравнимо с 0 по модулю 449 и Х сравнимо с 1 по модулю 528
б) Х сравнимо с 1 по модулю 449 и Х сравнимо с 0 по модулю 528
а) Х сравнимо с 4 по модулю 449 и Х сравнимо с 7 по модулю 528
5. а) (Китайская теорема об остатках.) Докажите, что если натуральные
числа а1, а2, ..., аn попарно взаимно
просты, то для любого набора остатков r1, r2, ...,
rn найдется число x, такое что x сравнимо с r1 (mod
а1), x сравнимо с r2 (mod а2), ..., x
сравнимо с rn (mod аn).
б) Как устроено множество всех х, удовлетворяющих этой системе
сравнений?
6. (Неразложимые гауссовы числа.) Докажите, что
а) Натуральное простое число р разлагается в произведение не более
чем двух неразложимых гауссовых чисел.
б) Если таких неразложимых сомножителей два, то они сопряжены.
в) Каждое неразложимое гауссово число является делителем одного из
натуральных простых чисел.
г) Натуральные простые числа вида 4k+3 являются неразложимыми
гауссовыми числами.
д) Для любого натурального простого р = 4k+1 найдется натуральное а,
такое что р|а2+1.
(Указание: если Вы еще не решили задачу НЧ 31, воспользуйтесь теоремой
Вильсона.)
е) Натуральные простые числа вида 4k+1 являются разложимыми гауссовыми
числами.
7. Как по разложению натурального числа n на простые множители понять, представимо ли n в виде суммы двух квадратов целых чисел?
Неприводимые многочлены (неразложимые элементы Z[x] и Q[x])
8. а) Справедливо ли в Z[x] следующее утвеждение: если p|f(x)g(x),
то либо p|f(x), либо p|g(x)? (Здесь р - простое число, f(x) и g(x) -
многочлены.)
б) Может ли неприводимый многочлен из Z[x] быть приводимым в
Q[x]?
в) Верна ли основная теорема арифметики в Z[x]?
Эйлеровы числа
9. Научитесь изображать на плоскости числа из
а) Z[(-5)1/2],
б) Z[(-2)1/2],
в) Z[(-3)1/2]
При этом, как и в случае гауссовых чисел, квадрат расстояния между двумя
числами на плоскости должен равняться норме разности этих чисел.
10. Верна ли основная теорема арифметики
а) в Z[(-2)1/2]?
б) в Z[(-3)1/2]?
Числа вида a + b(-3)1/2, где а и b либо оба целые, либо оба полуцелые, называются эйлеровыми числами. Чтобы перемножить два эйлеровых числа, нужно раскрыть скобки и учесть, что (-3)1/2(-3)1/2= -3.
11. Докажите, что произведение эйлеровых чисел - эйлерово число.
12. Пусть w = (-1+(-3)1/2) / 2. Вычислите:
а) w3
б) 1 + w + w2
в) (1 + w)6
Определим норму эйлерова числа: N(a + b(-3)1/2) = (a + b(-3)1/2)(a - b(-3)1/2).
13. а) Докажите, что норма эйлерова числа - целое число.
б) Найдите все обратимые эйлеровы числа.
14. На плоскости, где уже отмечены все числа из Z[(-3)1/2], отметьте остальные эйлеровы числа (связь нормы и расстояния должна сохраниться).
15. а) Докажите, что для любого эйлерова числа А точки 0, А, (1 + w)А
являются вершинами правильного треугольника.
б) Отметьте на плоскости все эйлеровы числа, делящиеся на
(3 + 7(-3)1/2)/2.
в) Верно ли, что эйлеровы числа можно делить с остатком?
16. Верна ли основная теорема арифметики для эйлеровых чисел?
17. а) Докажите, что для любого эйлерова А найдется В, такое что
А~В и В принадлежит Z[(-3)1/2].
б) Докажите, что норма эйлерова числа - число вида
а2+3b2, где a, b - целые.
18. Докажите, что натуральное простое р=3k+2 неразложимо в эйлеровых числах.
19. Докажите, что если р ─ натуральное простое число вида 3k+1, то
а) сравнение х2+х+1 сравнимо с 0 (mod p) имеет решение в
целых числах.
б) сравнение х2+3 сравнимо с 0 (mod p) имеет решение в
целых числах.
в) p разложимо в эйлеровых числах.
20. Как по разложению натурального числа n на простые множители понять, представимо ли n в виде а2+3b2, где a, b - целые числа?