57 школа, 8 класс
17 мая 2001 г.

Упаковка кругов

  1. Сорок одинаковых цилиндрических батареек вертикально разместили
    в коробке в 5 рядов по 8 цилиндров в каждом. Батарейки не ⌠болтаются■ при перевозке.
    Удастся ли вертикально расставить в той же коробке более сорока
    цилиндров того же размера? Будут ли батарейки ⌠болтаться■?

  2. Предложите натуральное n, такое что в квадрате n на n можно разместить больше, чем 8n2/7 непересекающихся кругов диаметра 1.

    3. Упаковка шаров

    На столе, в квадратной рамке 10 на 10, выложим 10 рядов по 10 шаров диаметра 1. Вторым слоем выложим 81 такой же шар во впадины первого слоя.

  3. а) Касаются ли друг друга шары второго слоя?

    4. б) На сколько выше расположены центры шаров второго слоя, чем центры шаров первого слоя?

    Третьим слоем выложим 64 шара во впадины второго слоя, и так далее до одного шара в верхнем слое.

  4. а) Сколько шаров в этой пирамиде?

    5. б) Скольких шаров касается шар, находящийся в глубине пирамиды?
    в) Сколько шаров касаются двух данных касающихся шаров?
    г) Можно ли указать восемь шаров, центры которых расположены в вершинах куба? Какова длина ребра этого куба?
    д) Можно ли указать шесть шаров, центры которых расположены в центрах граней куба? Какова длина ребра этого куба?
    е) Можно ли указать двенадцать шаров, центры которых расположены в серединах рeбер куба? Какова длина ребра этого куба?

  5. Центры скольких шаров расположены на расстоянии

    6. а) 1
    б) корень из 2
    в) корень из 3
    г) 2
    д) корень из 5
    е) корень из 6
    ж) корень из 7      от центра данного шара в глубине пирамиды?

  6. Пригрело солнышко, шары склеились и образовали жeсткую конструкцию.

    7. Пирамиду шаров положили на треугольный бок.
    Нарисуйте новый нижний слой пирамиды. На том же рисунке укажите точки, над которыми расположены центры шаров второго и третьего слоя.
    На сколько выше расположены центры шаров второго слоя, чем центры шаров первого слоя?