57 школа, 8 класс
12 января 2001 г.

Цепные дроби

  1. Представьте в виде обыкновенной дроби: a)    б) 

    Среди всех рациональных чисел можно выделить:
    0) целые числа;
    1) числа вида a0+1/a1, где a0 — целое, a1 — натуральное;
    2) числа вида a0+1/(a1+1/a2), где a0  ≈ целое, a1 и a2 — натуральные;
    ...
    n) числа вида   , где a0 — целое, a1, ..., an — натуральные.
    Такие многоэтажные выражения называются цепными дробями.
    Числа a0, a1, ..., an называются элементами данной цепной дроби.
    Цепную дробь с элементами a0, a1, ..., an мы будем обозначать [a0; а1, ..., аn].

  2. Представьте в виде цепной дроби число:       а) 31/12;       б)  366/2000.

  3. Расположите в порядке возрастания числа:
    а) [5; 1], [5; 2], [5; 3], ..., [5; 100]
    б) [5; 7, 1], [5; 7, 2], ..., [5; 7, 100]
    в) [5; 7, 4, 1], [5; 7, 4,2], ..., [5; 7, 4, 100]
    г) [a0], [a0; a1], [a0; a1, a2], ..., [a0; a1, ..., a100].

  4. а) Расположите в порядке возрастания всевозможные цепные дроби
    [0; a1], [0; a1, a2], [0; a1, a2, a3],
    в которых каждый из элементов a1, a2, a3 принимает значение 1, 2 или 3.
    б) Представьте каждое из этих чисел в виде обыкновенной дроби.
    в) Вычислите для каждой пары соседних чисел из пункта а) расстояние между ними. (Все ответы представьте в виде обыкновенных дробей.)

  5. а) Каждое ли рациональное число можно представить в виде цепной дроби?
    б) Сколькими способами данное число представляется в виде цепной дроби?

  6. Пусть a>b>0. Верно ли, что:
    а) если цепная последовательность прямоугольника a на b имеет вид a0, a1, ..., a100,
    то a/b = [a0; a1, ..., a100]?
    б) если a/b = [a0; a1, ..., a100], то цепная последовательность прямоугольника (a на b)
    имеет вид a0, a1, ..., a100?

  7. Известно, что цепная последовательность прямоугольника (a на b), где a>b начинается с чисел 5, 7, 2. Какие значения может принимать величина a/b?

  8. Научитесь, пожалуйста, глядя на цепные последовательности прямоугольников (a на b) и (с на d), сравнивать числа a/b и c/d (считаем, что a>b и c>d; случай полного совпадения цепных последовательностей пока не рассматриваем).

  9. Пусть a0,  a1, ..., an, ... — бесконечная цепная последовательность прямоугольника (a на b), где a>b. Расположите в порядке возрастания числа:
    а/b, [a0], [a0; a1],[a0; a1, a2], ..., [a0; а1, ..., аn], ...