Программа зачета

1. Формула для суммы первых n натуральных чисел. Геометрическое доказательство. (СКСК 2б, 3)
2. Формула для суммы первых n нечeтных чисел. Геометрическое доказательство. (СКСК 5)
3. Координаты клеток на плоскости. Совмещение двух фигур, состоящих из квадратиков (описание движения в координатах). (СКСК 7, 8)
4. Координаты клеток в пространстве. Совмещение двух фигур, состоящих из кубиков (описание движения в координатах). (СКСК 11, 23д)
5. Геометрическое доказательство формулы (а+b)³ = ... для натуральных a и b. (СКСК 9, 12)
6. Три геометрических доказательства формулы для суммы квадратов первых n натуральных чисел.
   а) (СКСК 15, обобщенная на произвольное n)
   б) (СКСК 20, обобщенная на произвольное n)
   в) (СКСК 23)
7. Совмещение двух фигур, состоящих из четырехмерных кубиков (описание движения в координатах). Геометрическое доказательство формулы для суммы кубов первых n натуральных чисел. (СКСК 24, 25)

8. (доп.) Задача о стаканах. (ЗС 6)

9. Получение формулы для суммы кубов с помощью таблицы умножения. (ТУ 4а)
10. Тождество Якоби (S₃(n))² = (S₅(n) + S₇(n))/2 и еще четыре аналогичных тождества, связывающих суммы степеней. (ТУ 7, 8)

11. Сумма 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n может принимать сколь угодно большие значения. (И 5в)
12. Числа Фибоначчи. Тождества на числа Фибоначчи. (И 6, 7, 8)
13. Ханойские башни (И 11)
14. Теорема Рамсея (И 12)

15. Операция отрезания квадрата от прямоугольника, цепная последовательность прямоугольника. (ПК 4, 5) Цепные последовательности подобных прямоугольников. (ПК 6) Цепные последовательности листа А4 и прямоугольника золотого сечения. (ПК 7)
16. Необходимое и достаточное условие конечности цепной последовательности прямоугольника. (ПК 10) Сторона последнего отрезаемого квадрата является наибольшим общим делителем (см. примечание 1) сторон прямоугольника. (ПК 9аб)

17. Представление рационального числа в виде цепной дроби. (ЦД 5аб)
18. Сравнение конечных цепных дробей. (ЦД 3, 4а)
19. Взаимное расположение иррационального числа и его подходящих дробей (см. примечание 2). (ЦД 9)

20. Поиск решения уравнения Ax + By = 1 при помощи разложения несократимой дроби А/B в цепную дробь. (НП 6, 7, 8, 9).
21. Закон образования подходящих дробей. (НП 10)
22. (Ряд Фарея.) Каждое положительное рациональное число можно получить из дробей 0/1 и 1/0, многократно применяя операцию взятия медианты (см. примечание 3). (НП 11)
23. Оценка погрешности приближения числа подходящей дробью. (НП 13а).
24. (доп.) Подходящие дроби являются наилучшими приближениями к числу. (НП 13б) Как быстро найти среди всех дробей со знаменателями не больше данного дробь, самую близкую к числу А, если известна цепная последовательность прямоугольника (А на 1). (НП 14, 15, 16)

25. Сравнение эффективности квадратной и гексагональной (шестиугольной) упаковок кругов на плоскости. (УК 1, 2)
26. (доп.) Структура упаковки шаров в пространстве, надстроенной над квадратной плоской упаковкой. (УШ 3, 4, 5) Совпадение этой упаковки и упаковки, надстроенной над гексагональной плоской упаковкой. (УШ 6)

    ---

    Примечания

    (1) Мы здесь называем действительное число b делителем действительного числа a, если отношение a/b является целым числом.

    (2) Обычно n-ной подходящей дробью к числу А > 1 называется число [а₀, а₁, ..., а_n],
    где а₀, а₁, ..., а_n, ... = цепная последовательность прямоугольника (A на 1)

    (3) Дробь (a+c)/(b+d) называется медиантой дробей a/b и c/d.