57-я школа, 8 класс
3 октября 2000 г.

Задача о стаканах

(дополнительный листочек)

    У продавца сока имеется n стаканов. Эти стаканы составлены в несколько башен.
    Башни стоят на столе в один ряд. От нечего делать продавец берeт по одному стакану из каждой башни и составляет из этих стаканов новую башню, которую ставит первой. Эту процедуру он повторяет многократно.

    Разделение стаканов по башням иллюстрирует разбиение числа n в сумму нескольких натуральных слагаемых (первое слагаемое —  число стаканов в первой башне, второе —  во второй башне, и так далее).
    "Преобразование продавца" переводит каждое такое разбиение в какое-то другое разбиение.
    Например,  (11 + 8 + 1 + 3 + 1 + 4) переходит в (6 + 10 + 7 + 2 + 3).

  1. Придумайте такое разбиение числа 36 в сумму слагаемых, которое не изменяется при "преобразовании продавца".

  2. Как определить по разбиению, могло ли оно получиться в результате преобразования продавца?

    Зададимся вопросом: что может увидеть покупатель, подошедший к продавцу через много часов его усердной деятельности?

  3. Пусть в начале было     а) (7 + 7 + 7);     б) (10 + 10 + 6).
    Какое разбиение получится после тысячекратного повторения "преобразования продавца"?

    Мы хотим проследить, какой путь проделывает один конкретный стакан. Для этого необходимо договориться, какие именно стаканы берутся  для образования новой башни. Удобно считать, что продавец забирает самый нижний стакан из первой башни, на него ставит самый нижний стакан из второй башни, и так далее.
    Каждый стакан имеет две координаты: текущий номер его башни и высота внутри башни.

  4. Какой путь проделал стакан из клетки (2, 7) в задачах 3а и 3б?

  5. Может ли при каком-либо начальном расположении стаканов выйти так, что стакан из клетки (14, 65) со временем попадeт в клетку (54, 30)?

  6. Верно ли, что при любом начальном расположении 55 стаканов рано или поздно разбиение этого числа в сумму слагаемых перестанет изменяться при преобразовании продавца?