Задача. Доказать, что любое число квадратов равносоставлено одному квадрату, то есть любые несколько квадратов можно разрезать на части так, что из всех полученных частей можно будет сложить один квадрат.
| Эту задачу можно решать "по индукции".
1) Один квадрат равносоставлен самому себе (ничего разрезать не требуется). 2) Пусть даны два квадрата. Меньший квадрат (на рисунке заштрихован) не будем разрезать, а больший (в крапинку) разрежем двумя прямыми на четыре равных четырeхугольника. |
 |
3) Пусть даны три квадрата. Воспользуемся пунктом 2: разрежем два квадрата на части, из которых сложим новый квадрат. Теперь у нас есть два квадрата: один новый и один старый. Далее поступаем как в пункте 2.
4) Пусть даны четыре квадрата. Воспользуемся пунктом 3: разрежем три квадрата на части, из которых сложим новый квадрат. Теперь у нас есть два квадрата: один новый и один старый. Далее поступаем как в пункте 2.
...
n) Пусть даны n квадратов. Воспользуемся пунктом (n-1): разрежем (n-1) квадрат на части, из которых сложим новый квадрат. Теперь у нас есть два квадрата: один новый и один старый. Далее поступаем как в пункте 2.
Не очень легко понять, на какие именно части оказался в результате разрезан каждый из исходных квадратов...
б) Верно ли, что при любом n сумма 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)
равна сумме 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2n-1) - 1/(2n)?
в) Усталый кузнечик делает первый прыжок длиной 1 м, второй — длиной 1/2 м, третий — длиной 1/3 м, и т. д. Верно ли, что каково бы ни было натуральное N, кузнечик сможет упрыгать дальше чем на N метров от своего дома?
Первые два числа Фибоначчи равны единице, и каждое число Фибоначчи, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Обозначим n-ое число Фибоначчи через un.
б) При каких n число un чeтно?
в) Докажите, что u1 + u2 + ... + un = un+2 - 1.
г) Докажите, что при n>5 справедливо неравенство 1,6n-2 < un <1,7n-2
д) Могут ли два соседних числа Фибоначчи делиться на 1999?
е) Существует ли число Фибоначчи, делящееся на 1999?
ж) Телеграфист передаeт сообщения длины n, состоящие из точек и тире. Найдите количество таких сообщений, не содержащих двух подряд идущих тире.
з) Докажите, что всякое натуральное число N имеет единственное представление в виде суммы
N = a2u2 + a3u3 + ... + anun, где каждое ai равно 0 или 1 и aiai+1 = 0 при i = 2, ..., n-1.
и) В строчку записали по порядку натуральные числа: 1, 2, ..., n. Сколькими способами можно переставить эти числа так, чтобы каждое из них удалилось не более чем на одну позицию от своего исходного места?
а) u1 + u3 + ... + u2n-1
б) u2 + u4 + ... + u2n
в) u1 - u2 + u3 - u4 + ... - u2n
г) (u1)2 + (u2)2 + ... +(un)2
д) u1u2 + u2u3 + u3u4 + ... + u2n-1u2n
е) nu1 + (n-1)u2 + ... + 2un-1 + 1un
ж) u1 + 2u2 + ... + nun
з) u3 + u6 + ... + u3n
б) Выразите u2n через un-1, un, un+1
в) Выразите u3n через un-1, un, un+1
г) Верно ли, что если n делится на k, то un делится на uk?
б) Найдите все тройки целых чисел x, y, z такие, что x2 + y2 + z2 = 2xyz.
а) плоскость n прямых?
б) пространство n плоскостей?
а) Удастся ли переставить все кольца с одного стержня на другой?
б) За сколько действий Вы смогли бы это сделать?
в) Какое минимальное количество действий необходимо для этого?
г) Элементарное действие с 3-пирамидкой — это перекладывание одного колечка. Такое действие полностью определяется номером стержня, состояние которого не меняется. (Почему?) Назовeм этот стержень "третьим лишним". Опишите последовательность "третьих лишних" в Вашем алгоритме.
а) Докажите, что в собрании из шести человек заведомо найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
б) Можно ли утверждать то же самое о собрании пяти человек?
в) Найдите L, такое что (2, n, L) — тройка Рамсея.
г) Правда ли, что (3, 4, 10) — тройка Рамсея?
д) Правда ли, что (3, 4, 9) — тройка Рамсея?
е) Правда ли, что (3, 4, 8) — тройка Рамсея?
ж) Пусть (n-1, k, А) и (n, k-1, В) — тройки Рамсея. Докажите, что (n, k, А+В) — тройка Рамсея.
з) Теорема Рамсея. Для любых n и k существует L, такое что (n, k, L) — тройка Рамсея.