Сопоставим каждой цепной дроби два целых числа: цепной числитель и цепной
знаменатель.
1) Цепной числитель дроби [а] равен а, цепной знаменатель дроби [а]
равен 1.
2) Если цепной числитель дроби
[а1; а2, ..., аn] равен p, цепной знаменатель
равен q, то цепной числитель дроби
[a0; a1, ..., an] равен a0p + q,
цепной знаменатель равен p.
- Вычислите цепной числитель и цепной знаменатель дроби [1; 2, 3, 4, 5,
6].
- Пусть цепной числитель дроби [a0; а1, ..., аn] равен p, цепной знаменатель
равен q. а) Докажите, что [a0; а1, ..., аn] = p/q;
б) Докажите по индукции, что p/q — несократимая дробь.
В дальнейшем мы будем кратко писать ■[a0; а1, ..., аn] = p/q■ вместо
слов
⌠цепной числитель дроби
[a0; а1, ..., аn] равен p, цепной знаменатель
равен q■.
- Какое наименьшее положительное число можно получить, вычитая из дроби
со знаменателем 21 дробь со знаменателем 13?
Назовем дроби a/b и c/d соседями, если |a/b √ c/d| = 1/bd.
- Докажите, что если a/b и c/d — соседи, то каждая из этих дробей несократима.
- Докажите, что если a/b и c/d — соседи и a/b < p/q < c/d, то q>b
и q>d.
- Пусть [a0; a1, ..., an-1] = p/q и [a0; a1, ..., an-1, an] = r/s.
Докажите, что p/q и r/s — соседи.
- Пусть [a0; a1, ..., an-1, an]
= p/q и [a0; a1, ..., an-1, (an+1)]
= r/s.
Докажите, что p/q и r/s — соседи.
- Пусть a и b — натуральные числа, и дробь а/b — несократима. Докажите,
что найдутся натуральные X и Y такие, что аX √ bY = 1.
- У кассира только 54634-рублевые купюры, а у Вас — только 98765-рублевые
(у обоих в неограниченном количестве). Сможете ли Вы уплатить кассиру
один рубль? Сколько купюр Вы дадите кассиру, и сколько он даст Вам в качестве
сдачи?
- Пусть [a0; ..., an-2] = pn-2/qn-2,
[a0; ..., an-1] = pn-1/qn-1 и
[a0; ..., an] = pn/qn.
Докажите, то pn = anpn-1 + pn-2
и qn = anqn-1 + qn-2.
- Имеется необычный калькулятор. В каждый момент на его экране изображены
две дроби. В начале работы это 0/1 и 1/0. При нажатии на кнопку L пара дробей
а/b и c/d заменяется на пару (а+с)/(b+d) и c/d. При нажатии на кнопку R пара
дробей а/b и c/d заменяется на пару а/b и (а+с)/(b+d). Других кнопок на
калькуляторе нет.
а) Как надо нажимать на кнопки, чтобы одна из дробей стала равна 134/163?
б) Докажите, что в каждый момент первая дробь на экране будет меньше
второй.
в) Докажите, что в каждый момент дроби на экране будут соседями.
г) Докажите, что любая несократимая дробь p/q, где p и q — натуральные
числа, может появиться на экране этого калькулятора.
(Пункты б) и в) имеют смысл после первого применения клавиши R.)
Назовем дробь p/q наилучшим приближением к числу А, если из всех дробей
со знаменателями, не превосходящими q, дробь p/q находится ближе всего
к числу A.
- Пусть a/b и c/d — соседи. Докажите, что a/b — наилучшее приближение
к c/d.
- Пусть a0, a1, ..., an, ... — цепная
последовательность прямоугольника (a на b), пусть a>b, и пусть
[a0; ..., an] = pn/qn.
a) Докажите, что |a/b √ pn/qn|
< (1/qn)2.
б) Докажите, что дробь pn/qn —
наилучшее приближение к числу a/b.
- Пусть a0, a1, ..., an, ...
— цепная последовательность прямоугольника
(a на b), где a>b, и пусть
[a0; ..., an] = pn/qn при всех n.
Докажите, что если последовательность дробей
r1/s1 < r2/s2 < ... < rn/sn <
... такова, что:
во-первых, в этой последовательности встречаются все дроби
p2k/q2k,
во-вторых, каждые два подряд идущих члена последовательности — соседи,
то каждое наилучшее приближение к числу a/b, меньшее a/b, встречается
в этой последовательности.
- Пусть a0, a1, ..., an, ... — цепная последовательность прямоугольника
(a на b), пусть a>b, и пусть [a0; ..., an] = pn/qn при всех n.
а) Как организовать бесконечную работу калькулятора из задачи 11, так
чтобы по ходу работы на экране появилась каждая дробь вида pn/qn?
б) Докажите, что в процессе такой работы на экране появится каждое
наилучшее приближение к числу a/b.
- Среди всех дробей со знаменателями, не превосходящими 1000, найдите
самую близкую к корню из 23.