Прямоугольники (a на b) и (c на d) называются подобными, если a/b = c/d.
- Лист писчей бумаги (формата А4) обладает интересным свойством. Если
сложить этот лист пополам (сгиб параллелен короткой стороне),
то полученный прямоугольник будет подобен исходному.
Найдите отношение длинной стороны к короткой у листа формата А4.
- "Прямоугольник золотого сечения" обладает другим интересным свойством.
Если разрезать этот прямоугольник на квадрат и прямоугольник, то полученный
прямоугольник будет подобен исходному. Найдите отношение длинной стороны к короткой у "прямоугольника
золотого сечения".
Возьмeм произвольный прямоугольник.
Разрежем его на квадрат и прямоугольник.
Квадрат уберeм, а прямоугольник снова разрежем на квадрат и прямоугольник.
Квадрат уберeм, и так далее...
- Пусть стороны исходного прямоугольника равнялись
а) 12 и 31
б) 366 и 2000
в) 3/5 и 4/9
г) 12/7 и 366/17.
На какие квадраты окажется в конце концов разрезан этот прямоугольник?
По ходу отрезания квадратов от прямоугольника можно выписать "цепную"
последовательность этого прямоугольника. Первое число в этой
последовательности — количество квадратов наибольшего
размера, второе — количество квадратов следующего размера,
и так далее...
- Выпишите цепные последовательности для прямоугольников из задачи 3.
- Какова цепная последовательность прямоугольника (u2000 на
u2001)?
- Верно ли, что у подобных прямоугольников совпадают цепные последовательности?
- Выпишите цепные последовательности для прямоугольников из задач
2 и 1.
- а) Пусть стороны исходного
прямоугольника — целые числа. Можно ли
утверждать, что процесс отрезания квадратов обязательно закончится?
б) Тот же вопрос для прямоугольника с
рациональными сторонами. (Число
называется рациональным, если оно равно отношению двух целых чисел)
- Пусть стороны исходного прямоугольника равнялись а и b, и пусть процесс
отрезания
квадратов закончился на квадрате со стороной d. Докажите, что:
а) прямоугольник (a на b) можно разрезать
на одинаковые квадраты со стороной d.
б) если прямоугольник (a на b) можно разрезать
на одинаковые квадратики (h на h), то и квадрат (d на d) можно разрезать
на квадратики (h на h).
- Докажите, что процесс отрезания квадратов от прямоугольника (a на b)
закончится в том
и только том случае, если a/b рационально.