57 школа, 9 класс
1 сентября 2001 г.
... это такая штука, которую Вы спокойно
можете объяснить два раза, не опасаясь,
что кто-нибудь поймет...
А. А. Милн — Б. Заходер

Повторение

  1. Выразите в виде многочлена от n:
    а) S4(n),
    б) S5(n),
    в) S6(n),
    г) S7(n).
    Здесь Sk(n) — сумма k-тых степеней первых n натуральных чисел.

  2. Какова цепная последовательность прямоугольника:
    а) 1 на корень из 17?
    б) 1 на корень из 15?
    в) 1 на корень из 47?
    г) 1 на корень из 31?

  3. а) Сколько троек целых чисел (x, y, z) удовлетворяют условию |x| + |y| + |z| < n?
    б) Сколько четверок натуральных чисел (x, y, z, t) удовлетворяют условию
    x + y + z + t = n?

  4. Упорядочьте по возрастанию числа u1/u2, u2/u3, u3/u4, ..., un/un+1, ...
    (здесь и далее через un обозначается n-ное число Фибоначчи).

  5. Две равные касающиеся окружности касаются числовой оси в точках 0 и 1.
    На первом шаге впишем окружность1 в криволинейный треугольник, образованный тремя точками касания.
    На втором шаге впишем по окружности в два возникших после первого шага криволинейных треугольника, прилегающих к числовой оси.
    На третьем шаге впишем по окружности в четыре возникших криволинейных треугольника, прилегающих к числовой оси.
    И так далее.
    а) Найдите диаметры и координаты точек касания с числовой осью пятнадцати окружностей, полученных на первых четырeх шагах.
    б) Опишите (бесконечное) множество точек, в которых окружности коснутся числовой оси после бесконечного множества шагов.

  6. Известно, что e > 1 и прямоугольник (1 на e) имеет цепную последовательность
    2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ... Вычислите число е с погрешностью не более 10√8.

  7. Найдите (u2000)2 + u2000u2001 √  (u2001)2.

  8. Решите в натуральных числах систему двух уравнений с пятью неизвестными:
    xyzu + xy + xu + zu = 158
    xyzuv + xyz + xyv + xuv + zuv + x + z + v = 1151.
     

  9. Найдите явную формулу, выражающую n-ный член рекуррентно заданной последовательности:
    a) a0 = 1, an+1 = an + n + 2
    б) a0 = 1, an+1 = 3an + 2
    в) a0 = 1, an+1 = 3an + 1
    г) a0 = 0, an+1 = 2an + 2n
    д) a0 = 1, an+1 = 2an + 3n    		 е) a0 = 1, an+1 = nan + n!
    ж) a0 = 1, an+1 = 2an + n
    з) a0 = 1, an = a0 + a1 + a2 + ... + an-1
    и) a0 = 2, an = a0a1a2...an-1
    к) a0 = 1, a1 = 1, an+1 = an √ an-1

  10. Верно ли, что если у двух прямоугольников совпадают цепные последовательности, то эти прямоугольники подобны?

  11. Предложите прямоугольник с цепной последовательностью:
    а) 6, 6, 6, ...
    б) 8, 4, 8, 4, 8, 4, ...
    в) 12, 2, 2, 12, 2, 2, 12, 2, 2, ...
    г) 10, 3, 2, 3, 10, 3, 2, 3, 10, 3, 2, 3, ...

  12. Пусть a > 1 и прямоугольник (1 на a) имеет цепную последовательность 1, 2, 3, 4, 5, ... Известно, что:
    а) b = 3 √ a;
    б) b = (9a + 4) / (7a + 3);
    в) b = (14a √ 9) / (11a √ 7).
    Найдите цепную последовательность прямоугольника (1 на b).

  13. В центре каждой кубической клетки (x, y, z), такой что x + y + z чeтно, поселился тиран. Каждый тиран владеет теми точками пространства, которые расположены ближе к нему, чем к любому другому тирану. Тиран (10, 10, 10) решил огородить свою страну. Сколько плоских деталей и какой формы пойдет на ограду?

  14. В 14 кабинете расположены три прямоугольника золотого сечения.
    Один из прямоугольников параллелен полу кабинета, второй — доске, третий ≈ окну. Длинные стороны первого прямоугольника указывают на доску, второго ≈ в окно, третьего — в потолок. Центры прямоугольников
    находятся в одной точке.
    Если от каждого прямоугольника оставить только 4 вершины, мы получим 12 точек в пространстве. Оказывается, что эти двенадцать точек являются вершинами многогранника, склеенного из двадцати одинаковых правильных треугольников.
    а)Укажите, на какие тройки точек нужно натянуть треугольники, чтобы получить этот двадцатигранник. Проверьте, пожалуйста, что все эти 20 треугольников будут правильными.
    б) Сколько граней сходится в одной вершине этого многогранника?
    в) Сколько ребер у этого многогранника?