57-я школа, 8 класс
6 сентября 2000 г.

    Сумма квадратов и сумма кубов

    Сумму 1 + 2 + 3 + ... + n можно представлять себе в виде ступенчатого треугольника на клетчатой бумаге.
    Этот треугольник мы будем обозначать через T(n), а эту сумму — через T(n).
  1. Вычислите T(1), T(2), T(3), ..., T(10).

  2. Пусть n — произвольное натуральное число.
    а) Составьте квадрат из двух ступенчатых треугольников: T(n) и T(n-1).
    б) Составьте прямоугольник из двух ступенчатых треугольников T(n).
    в) Составьте квадрат из восьми ступенчатых треугольников T(n) и ещe одной клеточки.
    Какова длина стороны этого квадрата?

  3. Каждый пункт предыдущей задачи доказывает некоторое тождество. Например,
    а) (1 + 2 + 3 + ... + n) + (1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) = n2.
    Запишите тождества, вытекающие из пунктов б) и в) задачи 2.

    Сумму первых n нечeтных чисел 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) тоже можно изобразить в виде ступенчатого треугольника. Этот треугольник мы будем обозначать через Odd(n), а эту сумму — через Odd(n).

  4. Вычислите Odd(1), Odd(2), Odd(3), ... , Odd(10).

  5. Пусть n — произвольное натуральное число.
    а) Сложите квадрат из четырeх треугольников Odd(n).
    б) Разрежьте Odd(n) на две части, из которых можно сложить квадрат.
    в) Какие тождества вытекают из пунктов а) и б)?

    Введeм координаты на бесконечном вверх и вправо листе клетчатой бумаги. Каждая клетка этого листа имеет две координаты, являющиеся натуральными числами.

  6. Сколько клеток (x, y) на листе удовлетворяют следующим условиям:
    а) x <= 50, y <= 100;
    б) x+y <= 101;
    в) x <= y <= 100;
    г) 5 <= x <= 54, 8 <= y <= 107;
    д) y <= x, x+y <= 80;
    е) x+2y <= 81;
    ж) y <= x, x+y <= 207.

  7. На одном листе закрасим все клетки, удовлетворяющие условию 6а), а на другом листе — условию 6г). Вырежем из первого листа фигуру 6а) и наложим еe на фигуру 6г) на втором листе так, чтобы края совпали. (Если есть несколько способов совместить эти фигуры, то выберите один из них.)
    а) Какая клетка фигуры 6г) будет накрыта клеткой (33, 60) фигуры 6а)?
    б) Какая клетка фигуры 6г) будет накрыта клеткой (i, j) фигуры 6а)?

  8. Фигуру 6б) можно наложить на фигуру 6в).
    а) Какая клетка фигуры 6в) будет накрыта клеткой (30, 53) фигуры 6б)?
    б) Какая клетка фигуры 6в) будет накрыта клеткой (i, j) фигуры 6б)?

    Мы уже ввели координаты на клетках бесконечного угла на плоскости.
    Аналогично, часть пространства, расположенную над этим углом, можно разбить на клетки кубической формы. Каждая клетка будет иметь три координаты, являющиеся натуральными числами. При движении вправо увеличивается первая координата, при движении вглубь ≈ вторая координата, при движении вверх ≈ третья.

  9. Сколько клеток (x, y, z) удовлетворяют условиям x <= 10, y <= 12, z <= 15?

    Назовем кирпичом (p на q на r) конструкцию из кубиков, которую можно расположить так, чтобы она занимала клетки, удовлетворяющие условиям x <= p, y <= q, z <= r.

  10. Сколько квадратиков уйдeт на обклеивание поверхности кирпича (p на q на r)?

  11. Кирпич (2 на 3 на 4) можно переместить из положения x <= 4, y <= 3, z <= 2 в положение x <= 2, y <= 3, z <= 4. Выберите какой-нибудь способ это сделать.
    а) Какую клетку займeт после этого перемещения кубик из клетки (3, 2, 1)?
    б) Какую клетку займeт после этого перемещения кубик из клетки (i, j, k)?

  12. Возьмeм куб, занимающий клетки x <= 12, y <= 12, z <= 12. Проведeм разрез между слоем клеток, у которых z=5 и слоем клеток, у которых z=6. Второй разрез проведeм между слоем y=5 и слоем y=6. Третий разрез проведем между слоем x=5 и слоем x=6. На какие части разделится куб в результате этих трeх разрезов?

    Назовем пирамидой P(n) конструкцию из кубиков, которую можно расположить так, чтобы она занимала клетки, удовлетворяющие условиям z <= y <= x <= n. Такое положение пирамиды P(n) мы будем называть стандартным.
    Через P(n) обозначим число кубиков в пирамиде P(n).

  13. Пусть пирамида P(7) находится в стандартном положении.
    а) Нарисуйте все семь горизонтальных слоeв пирамиды P(7): нижний (z=1), второй снизу (z=2), ... , верхний (z=7). В каждом слое указывайте клетку (1, 1, z).
    б) Нарисуйте семь вертикальных слоeв пирамиды P(7): передний (y=1), второй спереди (y=2), ... , задний (y=7). В каждом слое указывайте клетку (1, y, 1).
    в) Нарисуйте ещe семь вертикальных слоeв пирамиды P(7): самый левый (х=1), второй слева (х=2), ... , самый правый (х=7). Указывайте клетку (х, 1, 1).
    г) Пирамида P(7) стоит на листе клетчатой бумаги. Напишите на каждой клетке этого листа количество кубиков пирамиды, находящихся над этой клеткой.
    д) Вычислите P(1), P(2), P(3), ... , P(10).
    е) Верно ли, что T(1) + T(2) + ... + T(n) = n + 2(n-1) + 3(n-2) + ... + (n-1)2 + n?
    ж) Сколько квадратиков уйдeт на обклеивание поверхности пирамиды P(n)?

    Есть другая похожая пирамида. Еe стандартное положение — клетки (x, y, z) такие, что z <= x <= y <= n. Эту новую пирамиду мы назовeм левой, а исходную — правой. При n>1 правую пирамиду нельзя расположить так, чтобы она заняла те клетки пространства, которые раньше занимала левая (это можно доказать, но не сейчас).
    Мы будем обращаться с пирамидами как с конструктором: поворачивать их и складывать из них разные фигуры.

  14. Решите задачи 13а), 13б), 13в) и 13г) для пирамиды Pлевая(7).

    Оказывается, из шести пирамид P(n) можно сложить кирпич. На рисунке видно, как из трeх пирамид P(4) складывается половина кирпича.

  15. Объясните, как собирается кирпич
    из шести пирамид P(5):
    красной, оранжевой, жeлтой,
    зелeной, синей и фиолетовой.
    Нарисуйте все слои этого кирпича, разделив каждый слой на части разных цветов:
    а) горизонтальные слои (z = 1, 2, ...);
    б) вертикальные слои (y = 1, 2, ...);
    в) вертикальные слои (x = 1, 2, ...);
    г) Какие из этих шести пирамид правые,
    а какие — левые?

  16. Каковы размеры кирпича, который собирается из шести пирамид P(n)?

  17. Вычислите P(1000).

  18. а) Докажите, что 12 + 22 + 32 + ... + n2 = P(n-1) + P(n).
    б) Вычислите 12 + 22 + 32 + ... + 10002.
    в) Докажите, что 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6.

    Назовем пирамидой Sq(n) конструкцию из кубиков, которую можно расположить так, чтобы она занимала клетки, удовлетворяющие условиям z <= x <= n, z <= y <= n. Такое положение пирамиды Sq(n) мы будем называть стандартным.
    Через Sq(n) обозначим число кубиков в пирамиде Sq(n).

  19. а) Изобразите Sq(5) так же, как в задачах 13 а), б), в), г) изображалась P(7).
    б) Сколько клеток бумаги потребуется, чтобы обклеить пирамиду Sq(n)?
    в) Равенство из задачи 18а) можно доказать геометрически. Разделите пирамиду Sq(5) на синюю пирамиду P(4) и красную пирамиду P(5). Раскрасьте соответствующим образом слои из пункта а).

    Мы видим, что можно взять шесть одинаковых пирамид Sq(n), разрезать каждую из них на две части и из полученных двенадцати частей сложить кирпич.

  20. Составьте кирпич из шести пирамид Sq(5) (не разрезая их!). Нарисуйте и раскрасьте в шесть цветов все слои этого кирпича по каждому из трeх направлений.

    Пирамида Tower(n) в стандартном положении занимает клетки (x, y, z), удовлетворяющие условиям z <= x, z <= y, x+z <= n+1, y+z <= n+1.

  21. а) Изобразите Tower(7) так же, как в задачах 13 а), б), в), г) изображалась P(7).
    б) Изобразите Tower(8) так же, как в задачах 13 а), б), в), г) изображалась P(7).

  22. Пирамиду Tower(n) можно разделить на две части (допустим, зелeную и коричневую), из которых удаeтся сложить пирамиду P(n).
    а) Раскрасьте в эти два цвета слои, нарисованные в задаче 21а). Нарисуйте горизонтальные слои пирамиды P(7), составленной из тех же двух частей.
    б) То же самое для Tower(8) и P(8).

    Таким образом, равенство из задачи 18a) есть "сумма двух равенств": квадраты чeтных чисел и квадраты нечeтных чисел суммируются отдельно.

  23. Рассмотрим шесть пирамид, заданных неравенствами:
    первая: x <= y<z<=n+1,
    вторая: x<z <= y <= n+1,
    третья: z <= x<y <= n+1,
    четвeртая: z<y <= x <= n+1,
    пятая: y <= z<x <= n+1,
    шестая: y<x <= z <= n+1.
    а) Правда ли, что никакая клетка не попала сразу в две пирамиды?
    б) Какие клетки куба ((n+1) на (n+1) на (n+1)) не попали ни в одну из пирамид?
    в) Пусть n=5. Нарисуйте горизонтальные слои куба, раскрашенные в шесть цветов (каждую пирамиду — в свой цвет; пустые клетки оставьте белыми).
    г) Какие из этих пирамид правые, и какие левые?
    д) Каждую из пирамид можно поставить в стандартное положение. Для каждой из пирамид укажите, в какую клетку попадeт при этом кубик из клетки (i, j, k).
    е) Какое тождество можно получить из этого разбиения неполного куба?

    Сумму подряд идущих натуральных чисел мы представляли себе как фигуру на плоскости, сумму квадратов — как фигуру в пространстве. Для того, чтобы представить себе сумму кубов, удобно выйти в четырeхмерное пространство.

    Клетка на плоскости имеет две координаты, клетка в пространстве ≈  три. Клетка в четырeхмерном пространстве имеет четыре координаты: x, y, z, t. Можно сказать, что четырeхмерная клетка — это и есть четверка натуральных чисел.

    Четырeхмерные кубики нельзя купить в магазине, и нам трудно их себе представить, так как мы живем в трeхмерном пространстве. Но с помощью четырeхмерных кубиков мы получим формулу для суммы кубов.

    Четырeхмерный кирпич x <= p, y <= q, z <= r, t <= s можно разделить на трeхмерные слои (t=1, 2, ... s), а затем каждый трeхмерный слой разделить на двумерные слои. Получится"прямоугольник прямоугольников".

    Битреугольник SqT(n) — это "треугольник треугольников". В стандартном положении он занимает клетки (x, y, z, t), удовлетворяющие условиям t <= z <= n, y <= x <= n.

  24. На рисунке изображены (7 на 6) сечений
    четырeхмерного кирпича (7 на 6 на 7 на 6),
    разбитого на четыре битреугольника.
    Битреугольники обозначены разными цветами.
    а) Задайте каждый из битреугольников
    неравенствами на координаты.
    б) Каждый из этих битреугольников
    можно перевести в стандартное положение.
    В какую клетку попадeт при этом кубик, который раньше занимал клетку (i, j, k, h)?

    Четырeхмерная пирамида Cube(n) в стандартном положении занимает клетки (x, y, z, t), удовлетворяющие условиям t <= x <= n, t <= y <= n, t <= z <= n.

  25. Нарисуйте (6 на 6) двумерных слоeв четырехмерного куба (6 на 6 на 6 на 6).
    а) Заштрихуйте клетки, которые занимает Cube(6) в стандартном положении.
    б) Закрасьте жeлтым клетки, попадающие в SqT(6) в стандартном положении.
    в) Заштрихованные, но не закрашенные клетки образуют фигуру, очень похожую на ту, которую образуют закрашенные, но не заштрихованные клетки. (Правда, на картинке это видно плохо.) Точнее, одна фигура получается из другой "отражением в четырeхмерном зеркале". Напишите, в какую клетку попадeт при этом "отражении" кубик, который раньше занимал клетку (i, j, k, h).
    г) Выведите формулу для суммы кубов.