57 школа, 8 класс
13 октября 2000 г.
Говорят, что где-то есть острова,
Где неправда не бывает права.
...
Кто бы ни указывал
Иное ≈ гражданам,
Четыре ≈ дважды два,
Для всех и каждого.
...
Вот какие я придумал острова...
Александр Галич

Таблица умножения

  1. Выпишите формулы для суммы:
    а) первых n натуральных чисел;
    б) первых n нечeтных чисел;
    в) квадратов первых n натуральных чисел;
    г) квадратов первых n нечeтных чисел.

  2. Раскройте скобки в произведении: а) (a + b + c + d)(e + f + g + h).
    б) (1 + x + x2)(1 + x3 + x6) (1 + x9 + x18)(1 + x27 + x54) (1 + x81 + x162)

  3. Найдите сумму произведений,
    записанных в этой таблице умножения:
    а) во всех клетках;
    б) в k-той строке;
    в) на диагонали 1 ≈ 104;
    г) на диагонали 100 ≈ 100;
    д) в выделенном уголке;
    е) на чeрных полях при шахматной
    раскраске клеток таблицы;
    ж) являющихся нечeтными числами.

  4. а) Задачи 3а и 3д ≈ ещe один способ получить формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел. Выпишите эту формулу.
    б) Выведите формулу для суммы кубов первых n нечeтных чисел.

  5. Выпишем в ряд все нечeтные числа. Разобъeм этот ряд на части: в первой части одно число 1, во второй части два числа 3 и 5, в третьей части следующие три числа, и так далее.
    1 | 3 5 | 7 9 11 | 13 15 17 19 | 21 23 25 27 29 | ...
    а) Найдите сумму всех чисел, вошедших в первые n частей этого ряда.
    б) Найдите сумму чисел, вошедших в n-ную часть этого ряда.

  6. Выпишем в ряд все натуральные числа. Разобъeм этот ряд на части: в первой части одно число 1, во второй части два числа 2 и 3, в третьей части следующие три числа, и так далее.
    1 | 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 10 | 11 12 13 14 15 | ...
    а) Найдите сумму всех чисел, вошедших в первые n частей этого ряда.
    б) Найдите сумму чисел, вошедших в n-ную часть этого ряда.
    (Ответ представьте в виде многочлена от n.)
    в) Найдите сумму всех чисел, вошедших в первую, третью, пятую, ..., (2n √1)-ую часть этого ряда
    (то есть в первые n частей с нечeтными номерами).

    Обозначим через Sk(n) сумму k-тых степеней первых n натуральных чисел.

    Например, S1(n) = T(n), S2(n) = 12 + 22 + 32 + ... + n2 и так далее.
  7. а) Найдите сумму всех произведений,
    стоящих в этой таблице умножения.
    б) Найдите сумму чисел,
    стоящих в выделенном уголке
    (ответ представьте в виде многочлена от k).
    в) Выразите S5(n) через T(n).
    г) Вычислите 15 + 25 + 35 + ... + 405.
  8. Пользуясь подходящими таблицами умножения, выведите следующие тождества:
    а) S1(n)S2(n) = (5S4(n)+S2(n))/6
    б) S2(n)S2(n) = ...
    в) S2(n)S3(n) = ...
    г) S3(n)S3(n) = ...

  9. Вычислите а) 14 + 24 + 34 + ... + 404;
    б) 16 + 26 + 36 + ... + 406.

  10. а) Выразите S7(n) через T(n).
    б) Вычислите 17 + 27 + 37 + ... + 207.